812 Вправа 812Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 14 · стор. 150

812. Точка K — середина сторони AB квадрата ABCD. Знайди проєкції відрізків KB, BC і CD на пряму KC, якщо AB = 9.

ABCD — квадрат, AB = 9, K — середина AB, тому KB = 4,5.

BM ⊥ KC, DP ⊥ KC; KM — проєкція KB, MC — проєкція BC, PC — проєкція CD на пряму KC.

△KBC (∠B = 90°):

KC² = BC² + KB² = 81 + 20,25 = 101,25;

KC = ${\displaystyle \sqrt{101,25}}$ = ${\displaystyle \frac{9\sqrt{5}}{2}}$.

BM — висота прямокутного △KBC, тому KB² = KC · KM і BC² = KC · MC.

KM = ${\displaystyle \frac{\mathrm{KB}²}{\mathrm{KC}}}$ = ${\displaystyle \frac{20,25\cdot 2}{9\sqrt{5}}}$ = ${\displaystyle \frac{4,5}{\sqrt{5}}}$ = ${\displaystyle \frac{9\sqrt{5}}{10}}$.

MC = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}²}{\mathrm{KC}}}$ = ${\displaystyle \frac{81\cdot 2}{9\sqrt{5}}}$ = ${\displaystyle \frac{18}{\sqrt{5}}}$ = ${\displaystyle \frac{18\sqrt{5}}{5}}$.

Перевірка: KM + MC = ${\displaystyle \frac{9\sqrt{5}}{10}}$ + ${\displaystyle \frac{36\sqrt{5}}{10}}$ = ${\displaystyle \frac{45\sqrt{5}}{10}}$ = ${\displaystyle \frac{9\sqrt{5}}{2}}$ = KC.

△DPC ~ △CBK (∠P = ∠B = 90°, ∠DCP = 90° – ∠BCK = ∠BKC), тому ${\displaystyle \frac{\mathrm{PC}}{\mathrm{KB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{KC}}}$.

PC = ${\displaystyle \frac{\mathrm{KB}\cdot \mathrm{CD}}{\mathrm{KC}}}$ = ${\displaystyle \frac{4,5\cdot 9\cdot 2}{9\sqrt{5}}}$ = ${\displaystyle \frac{9}{\sqrt{5}}}$ = ${\displaystyle \frac{9\sqrt{5}}{5}}$.

Відповідь: ${\displaystyle \frac{9\sqrt{5}}{10}}$; ${\displaystyle \frac{18\sqrt{5}}{5}}$; ${\displaystyle \frac{9\sqrt{5}}{5}}$.