1085 Вправа 1085Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 19 · стор. 218

1085. Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює d, а сторони основи – a і b. Знайдіть площу поверхні паралелепіпеда, якщо: 1) a = 4 см, b = 3 см, d = 13 см; 2) a = 8 см, b = 6 см, d = 15 см.

Дано: прямокутний паралелепіпед; AD = a; AB = b; B1D = d.

Знайти: Sп.п.

Розв'язання

1) a = 4 см; b = 3 см; d = 13 см.

У △BAD (∠A = 90°) за теоремою Піфагора:

BD = ${\displaystyle \sqrt{{\mathbf{AD}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{+}\mathbf{AB}}^{\mathbf{2}}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{16}\mathbf{+}\mathbf{9}}}$ = 5 (см).

У △B1BD (∠B = 90°) за теоремою Піфагора:

B1B = ${\displaystyle \sqrt{{\mathbf{B}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{D}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{-}\mathbf{BD}}^{\mathbf{2}}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{{\mathbf{13}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{-}\mathbf{5}}^{\mathbf{2}}}}$ =

= ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{169}\mathbf{-}\mathbf{25}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{144}}}$ = 12 (см).

c = B1B = 12 см.

Sп.п. = 2(ab + bc + ac);

Sп.п. = 2(4 · 3 + 3 · 12 + 4 · 12) =

= 2(12 + 36 + 48) = 2 · 96 = 192 (см²).

2) a = 8 см; b = 6 см; d = 15 см.

У △BAD (∠A = 90°) за теоремою Піфагора:

BD = ${\displaystyle \sqrt{{\mathbf{AD}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{+}\mathbf{AB}}^{\mathbf{2}}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{64}\mathbf{+}\mathbf{36}}}$ = 10 (см).

У △B1BD (∠B = 90°) за теоремою Піфагора:

B1B = ${\displaystyle \sqrt{{\mathbf{B}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{D}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{-}\mathbf{BD}}^{\mathbf{2}}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{{\mathbf{15}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{-}\mathbf{10}}^{\mathbf{2}}}}$ =

= ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{225}\mathbf{-}\mathbf{100}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{125}}}$ = 5${\displaystyle \sqrt{\mathbf{5}}}$ (см).

c = B1B = 5${\displaystyle \sqrt{\mathbf{5}}}$ см.

Sп.п. = 2(ab + bc + ac);

Sп.п. = 2(8 · 6 + 6 · 5${\displaystyle \sqrt{\mathbf{5}}}$ + 8 · 5${\displaystyle \sqrt{\mathbf{5}}}$) =

= 2(48 + 30${\displaystyle \sqrt{\mathbf{5}}}$ + 40${\displaystyle \sqrt{\mathbf{5}}}$) = 2(48 + 70${\displaystyle \sqrt{\mathbf{5}}}$) (см²).

Відповідь: 1) 192 см²; 2) 2(48 + 70${\displaystyle \sqrt{\mathbf{5}}}$) см².