1097 Вправа 1097Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 19 · стор. 219

1097. У прямокутнику зі сторонами 4 см і 6 см проведено бісектриси кутів при його більшій стороні. Знайдіть площі частин, на які поділено прямокутник.

AB = 6 см; AD = 4 см; AN і BM – бісектриси.

∠DAN = 90° : 2 = 45° (AN – бісектриса прямого кута).

У △ADN (∠D = 90°): ∠DNA = 90° – 45° = 45°.

△ADN – прямокутний рівнобедрений (∠DAN = ∠DNA).

DN = AD = 4 см.

Аналогічно △BCM – прямокутний рівнобедрений: CM = BC = 4 см, ∠CMB = 45°.

S△ADN = ${\displaystyle \frac{\mathbf{4}\mathbf{\cdot }\mathbf{4}}{\mathbf{2}}}$ = 8 (см²);

S△MCB = ${\displaystyle \frac{\mathbf{4}\mathbf{\cdot }\mathbf{4}}{\mathbf{2}}}$ = 8 (см²).

MN = DN + CM – DC = 4 + 4 – 6 = 2 (см).

У △MNP: ∠PMN = ∠PNM = 45°, тоді ∠MPN = 90°.

MP = PN = x (△MNP – рівнобедрений).

MP2 + PN2 = MN2 (за теоремою Піфагора);

x2 + x2 = 4;

2x2 = 4;

x2 = 2;

x = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{2}}}$.

S△MNP = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$MP · PN = ${\displaystyle \frac{\sqrt{\mathbf{2}}\mathbf{\cdot }\sqrt{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}}$ = 1 (см²);

SADMP = S△ADN – S△MNP = 8 – 1 = 7 (см²);

SPNCB = S△MCB – S△MNP = 8 – 1 = 7 (см²);

S△APB = SABCD – S△MNP – SADMP – SPNCB =

= 4 · 6 – 1 – 7 – 7 = 9 (см²).

Відповідь: 1 см²; 7 см²; 7 см²; 9 см².