1094 Вправа 1094Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 19 · стор. 219

1094. Катети прямокутного трикутника дорівнюють a і b. Точка O розміщена на відстані d від кожного катета. Знайдіть відстань від цієї точки до гіпотенузи, якщо: 1) a = 3 см, b = 4 см, d = 1 см; 2) a = 6 см, b = 8 см, d = 2 см.

Дано: △ABC (∠C = 90°); BC = a; AC = b;

OM ⊥ BC; OP ⊥ AC; OM = OP = d.

Знайти: OK (OK ⊥ AB).

Розв'язання

SABC = SBOC + SAOC + SAOB (площа фігури дорівнює сумі площ її частин);

${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ab = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$a · d + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$b · d + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AB · OK;

OK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{ab}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{)}\mathbf{d}}{\mathbf{AB}}}$.

1) AB = ${\displaystyle \sqrt{{\mathbf{3}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{+}\mathbf{4}}^{\mathbf{2}}}}$ = 5 (см) (за теоремою Піфагора);

OK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{3}\mathbf{\cdot }\mathbf{4}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{+}\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{\cdot }\mathbf{1}}{\mathbf{5}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{5}}{\mathbf{5}}}$ = 1 (см).

2) AB = ${\displaystyle \sqrt{{\mathbf{6}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{+}\mathbf{8}}^{\mathbf{2}}}}$ = 10 (см) (за теоремою Піфагора);

OK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{6}\mathbf{\cdot }\mathbf{8}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{6}\mathbf{+}\mathbf{8}\mathbf{)}\mathbf{\cdot }\mathbf{2}}{\mathbf{10}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{20}}{\mathbf{10}}}$ = 2 (см).

Відповідь: 1) 1 см; 2) 2 см.