1101 Вправа 1101Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 19 · стор. 220

1101. Доведіть, що площі трикутників, на які розбиває прямокутний трикутник висота, проведена до гіпотенузи, відносяться як проєкції катетів на гіпотенузу.

Дано: △ABC; ∠C = 90°; CK = h – висота;

BK = ac, AK = bc – проєкції катетів на гіпотенузу.

Довести: ${\displaystyle \frac{{\mathbf{S}}_{\mathbf{△}\mathbf{BCK}}}{{\mathbf{S}}_{\mathbf{△}\mathbf{ACK}}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{a}}_{\mathbf{c}}}{{\mathbf{b}}_{\mathbf{c}}}}$.

Доведення

S△BCK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ac · h;

S△ACK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$bc · h.

${\displaystyle \frac{{\mathbf{S}}_{\mathbf{△}\mathbf{BCK}}}{{\mathbf{S}}_{\mathbf{△}\mathbf{ACK}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}{\mathbf{a}}_{\mathbf{c}}\mathbf{\cdot }\mathbf{h}}{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}{\mathbf{b}}_{\mathbf{c}}\mathbf{\cdot }\mathbf{h}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{a}}_{\mathbf{c}}}{{\mathbf{b}}_{\mathbf{c}}}}$.

Що і потрібно було довести.