1096 Вправа 1096Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 19 · стор. 219
Умова
Точка M ділить відрізок AB навпіл, а точка N – на нерівні частини. Доведіть, що площа прямокутника зі сторонами AN і NB дорівнює різниці площ квадратів зі сторонами MB і MN.
Розв'язок
1096. Точка M ділить відрізок AB навпіл, а точка N – на нерівні частини. Доведіть, що площа прямокутника зі сторонами AN і NB дорівнює різниці площ квадратів зі сторонами MB і MN.
Дано: AM = MB; AN ≠ NB.
Довести: AN · NB = MB2 – MN2.
Доведення
Нехай AM = MB = x, AN = a, NB = b, тоді a + b = 2x.
MB = x, MN = x – a.
MB2 – MN2 = x2 – (x – a)2 =
= x2 – (x2 – 2ax + a2) = 2ax – a2 =
= a(2x – a) = ab.
AN · NB = ab, тому AN · NB = MB2 – MN2.
Що і потрібно було довести.