1098 Вправа 1098Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 19 · стор. 219

1098. Кут між діагоналями прямокутника дорівнює 46°, а його площа – 545 см². Знайдіть сторони прямокутника.

Дано: ABCD – прямокутник; ∠COD = 46°;

SABCD = 545 см².

Знайти: BC, CD.

Розв'язання

OC = OD (діагоналі прямокутника рівні й точкою перетину діляться навпіл).

△COD – рівнобедрений.

∠ODC = ∠OCD = (180° – 46°) : 2 = 67° (кути при основі рівнобедреного трикутника).

SABCD = BC · CD.

Нехай BC = x см, тоді CD = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{S}}_{\mathbf{ABCD}}}{\mathbf{BC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{545}}{\mathbf{x}}}$ (см).

У △BCD (∠C = 90°):

tg ∠BDC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BC}}{\mathbf{CD}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{x}\mathbf{\cdot }\mathbf{x}}{\mathbf{545}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{545}}}$.

x2 = 545 · tg 67° ≈ 545 · 2,3559 ≈ 1284,0;

x ≈ ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{1284}\mathbf{,}\mathbf{0}}}$ ≈ 35,83 (см);

BC ≈ 35,83 см; CD ≈ ${\displaystyle \frac{\mathbf{545}}{\mathbf{35}\mathbf{,}\mathbf{83}}}$ ≈ 15,21 (см).

Відповідь: ≈ 35,83 см; ≈ 15,21 см.