529 Вправа 529Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 9 · стор. 102

529. У трикутнику ABC проведено висоти BB1 і CC1, що перетинаються в точці K (мал. 265). Доведіть, що навколо чотирикутника AB1KC1 можна описати коло. Знайдіть кут B1KC1, якщо кут A дорівнює: 1) 55°; 2) 72°; 3) 60°.

BB1 і CC1 – висоти, тому ∠AC1K = ∠AB1K = 90°.

∠AC1K + ∠AB1K = 90° + 90° = 180°.

Сума двох протилежних кутів чотирикутника AB1KC1 дорівнює 180°, тому за ознакою вписаного чотирикутника навколо нього можна описати коло.

Тоді ∠A + ∠B1KC1 = 360° – 180° = 180°,

звідки

∠B1KC1 = 180° – ∠A.

1) ∠B1KC1 = 180° – 55° = 125°;

2) ∠B1KC1 = 180° – 72° = 108°;

3) ∠B1KC1 = 180° – 60° = 120°.

Відповідь: 1) 125°; 2) 108°; 3) 120°.