557 Вправа 557Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 9 · стор. 105

557. Пряма, паралельна бічній стороні рівнобедреного трикутника, відтинає від нього трапецію, бічна сторона якої є частиною основи даного трикутника й удвічі довша за її меншу основу. Чи можна вписати коло в таку трапецію?

Нехай △ABC – рівнобедрений, AB = BC, KM ∥ AB (K ∈ BC, M ∈ AC), ABKM – трапеція, AM = 2KM.

∠KMC = ∠BAC (відповідні кути при KM ∥ AB

і січній AC);

∠BAC = ∠BCA (кути при основі рівнобедреного трикутника).

Тоді ∠KMC = ∠KCM, тобто △MKC – рівнобедрений і KC = KM.

Нехай KM = x, тоді AM = 2x, KC = x,

BK = BC – KC = AB – x.

AM + BK = 2x + AB – x = AB + x;

AB + KM = AB + x.

Отже, AM + BK = AB + KM – суми протилежних сторін трапеції рівні.

За ознакою описаного чотирикутника в таку трапецію можна вписати коло.

Відповідь: так.