553 Вправа 553Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 9 · стор. 104

553. Доведіть, що бісектриси кутів чотирикутника, перетинаючись, утворюють чотирикутник, навколо якого можна описати коло (мал. 271).

Дано: ABCD – чотирикутник; AN, DN, BP, CP – бісектриси його кутів; MNKP – утворений ними чотирикутник.

Довести: навколо MNKP можна описати коло.

Доведення

З △AND і △BPC:

∠AND + ∠BPC = (180° – ∠NAD – ∠NDA) +

+ (180° – ∠PBC – ∠PCB) =

= 180° – ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠BAD – ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠ADC +

+ 180° – ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠ABC – ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠BCD =

= 360° – ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$(∠BAD + ∠ADC + ∠ABC +

+ ∠BCD) =

= 360° – ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · 360° = 360° – 180° = 180°.

Отже, ∠MNK + ∠MPK = 180°,

тоді ∠NMP + ∠NKP = 360° – 180° = 180°.

Суми протилежних кутів чотирикутника MNKP дорівнюють 180°, тому навколо нього можна описати коло.

Що і потрібно було довести.