555 Вправа 555Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 9 · стор. 105

555. Доведіть, що у вписаному чотирикутнику ABCD бісектриса кута A перетинається з бісектрисою зовнішнього кута при вершині C у точці, що лежить на колі, описаному навколо чотирикутника.

Дано: ABCD – вписаний чотирикутник; ∠DCK – зовнішній кут при вершині C; AM – бісектриса ∠A, CM – бісектриса ∠DCK.

Довести: точка M лежить на колі, описаному навколо ABCD.

Доведення

∠DCM = ∠MCK (за умовою).

∠BAM = ∠DAM (за умовою).

∠A + ∠BCD = 180° (властивість кутів вписаного чотирикутника),

тоді ∠BCD = 180° – ∠A.

∠DCK = 180° – ∠BCD (суміжні кути),

∠DCK = 180° – (180° – ∠A) = ∠A.

Тоді ∠DCM = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠DCK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠A.

Розглянемо чотирикутник ABCM.

∠BAM + ∠BCM =

= ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠A + ∠BCD + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠A =

= ∠A + ∠BCD = 180°.

За ознакою вписаного чотирикутника навколо ABCM можна описати коло. Воно проходить через точки A, B, C, тобто збігається з колом, описаним навколо ABCD.

Отже, точка M належить колу, описаному навколо чотирикутника ABCD.

Що і потрібно було довести.