537 Вправа 537Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 9 · стор. 103

537. Доведіть, що центром кола, вписаного в ромб, є точка перетину його діагоналей (мал. 269).

Дано: ABCD – ромб; O – точка перетину діагоналей.

Довести: O – центр кола, вписаного в ромб.

Доведення

Проведемо OK ⊥ AB, OL ⊥ BC, OM ⊥ CD, ON ⊥ AD.

△KBO = △LBO = △MDO = △NDO (за гіпотенузою і гострим кутом):

BO = OD (діагоналі ромба точкою перетину діляться навпіл),

∠KBO = ∠LBO = ∠NDO = ∠MDO (діагоналі ромба є бісектрисами його кутів, ∠B = ∠D).

З рівності цих трикутників випливає, що

OK = OL = OM = ON.

Отже, точка O рівновіддалена від усіх сторін ромба, тобто O – центр кола, вписаного в ромб ABCD.

Що і потрібно було довести.