556 Вправа 556Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 9 · стор. 105

556. Із точки P перетину взаємно перпендикулярних діагоналей чотирикутника ABCD провели перпендикуляри PK, PL, PM і PN до сторін, причому точки K, L, M і N лежать на сторонах AB, BC, CD, DA відповідно. Доведіть, що чотирикутник KLMN – вписаний у коло.

Дано: ABCD – чотирикутник; AC ⊥ BD, P – точка перетину діагоналей; PK ⊥ AB, PL ⊥ BC, PM ⊥ CD, PN ⊥ DA.

Довести: KLMN – вписаний у коло.

Доведення

У чотирикутнику KBLP

∠BKP + ∠BLP = 90° + 90° = 180°,

тому він вписаний у коло (ознака вписаного чотирикутника).

∠KLP = ∠KBP (вписані кути, що спираються на одну дугу KP).

Аналогічно чотирикутник PLCM – вписаний у коло і ∠PLM = ∠PCM;

чотирикутник PMDN – вписаний у коло і ∠PNM = ∠PDM;

чотирикутник AKPN – вписаний у коло і ∠KNP = ∠KAP.

Розглянемо чотирикутник KLMN.

∠KLM + ∠KNM =

= (∠KLP + ∠PLM) + (∠KNP + ∠PNM) =

= (∠ABP + ∠BAP) + (∠PCD + ∠PDC) =

= 90° + 90° = 180°

(△APB і △CPD – прямокутні, сума їхніх гострих кутів дорівнює 90°).

Оскільки ∠KLM + ∠KNM = 180°, то навколо чотирикутника KLMN можна описати коло.

Отже, чотирикутник KLMN – вписаний у коло.

Що і потрібно було довести.