554 Вправа 554Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 9 · стор. 105

554. Доведіть, що бісектриси кутів трапеції ABCD, перетинаючись, утворюють чотирикутник MNKL, навколо якого можна описати коло (мал. 272).

Дано: ABCD – трапеція (BC ∥ AD); AK, BM, CM, DK – бісектриси її кутів; N – точка перетину бісектрис кутів A і B, L – точка перетину бісектрис кутів C і D.

Довести: навколо MNKL можна описати коло.

Доведення

∠A + ∠B = 180° (внутрішні односторонні кути при BC ∥ AD і січній AB).

З △ANB:

∠ANB = 180° – (${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠A + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠B) =

= 180° – ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · 180° = 90°.

Аналогічно ∠C + ∠D = 180°,

і з △CLD: ∠CLD = 90°.

∠KNM = ∠ANB = 90° (вертикальні кути).

∠KLM = ∠CLD = 90° (вертикальні кути).

Тоді ∠KNM + ∠KLM = 90° + 90° = 180°.

Сума двох протилежних кутів чотирикутника MNKL дорівнює 180°, тому за ознакою вписаного чотирикутника навколо нього можна описати коло.

Що і потрібно було довести.