539 Вправа 539Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 9 · стор. 103

539. Знайдіть кут D чотирикутника ABCD, вписаного в коло, якщо його кути A, B і C відносяться як: 1) 2 : 3 : 4; 2) 1 : 2 : 2.

Нехай ∠A = mx°, ∠B = nx°, ∠C = kx°.

Чотирикутник вписаний, тому

∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°, звідки

∠D = ∠A + ∠C – ∠B =

= mx° + kx° – nx° = (m + k – n)x°.

Оскільки ∠A + ∠C = 180°, то mx° + kx° = 180°, тоді

x° = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}}{\mathbf{m}\mathbf{+}\mathbf{k}}}$ і ∠D = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{\cdot }\mathbf{(}\mathbf{m}\mathbf{+}\mathbf{k}\mathbf{-}\mathbf{n}\mathbf{)}}{\mathbf{m}\mathbf{+}\mathbf{k}}}$.

1) m = 2, n = 3, k = 4:

∠D = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{\cdot }\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{+}\mathbf{4}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{)}}{\mathbf{2}\mathbf{+}\mathbf{4}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{\cdot }\mathbf{3}}{\mathbf{6}}}$ = 90°.

2) m = 1, n = k = 2:

∠D = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{\cdot }\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}}{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{2}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}}{\mathbf{3}}}$ = 60°.

Відповідь: 1) 90°; 2) 60°.