215 Вправа 215Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 3 · стор. 39

215. На продовженнях сторін AB, BC, CD і DA паралелограма ABCD позначено відповідно точки K, P, M і E так, що AK = BP = CM = DE. Доведіть, що чотирикутник KPME – паралелограм.

ABCD – паралелограм, тому AB = CD; BC = AD.

AK = CM (за умовою), звідси KB = MD.

BP = DE (за умовою), звідси CP = EA.

∠A = ∠C (протилежні кути паралелограма).

Звідси ∠KAE = ∠MCP (суміжні з рівними кутами).

∠B = ∠D (протилежні кути паралелограма).

Звідси ∠KBP = ∠MDE (суміжні з рівними кутами).

Тоді △KBP = △MDE (за двома сторонами та кутом між ними).

З рівності трикутників: KP = ME.

Аналогічно △KAE = △MCP, тому KE = MP.

У чотирикутнику KPME протилежні сторони попарно рівні.

Тому KPME – паралелограм (ознака паралелограма).

Що і потрібно було довести.