216 Вправа 216Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 3 · стор. 39

216. На діагоналі AC паралелограма ABCD позначено точки K і M так, що ∠AKB = ∠CMD. Доведіть, що KBMD – паралелограм.

ABCD – паралелограм, тому AB ∥ CD; AC – січна, тому ∠BAK = ∠DCM (внутрішні різносторонні).

За умовою ∠BKA = ∠CMD.

У △ABK: ∠ABK = 180° – ∠BAK – ∠BKA.

У △CDM: ∠CDM = 180° – ∠DCM – ∠CMD.

Оскільки ∠BAK = ∠DCM і ∠BKA = ∠CMD, то ∠ABK = ∠CDM.

△BAK = △DCM (за стороною і прилеглими кутами), бо AB = CD; ∠BAK = ∠DCM і ∠ABK = ∠CDM.

З рівності трикутників: BK = MD.

∠BKM = 180° – ∠BKA (суміжні кути).

∠DMK = 180° – ∠DMC (суміжні кути).

Оскільки ∠BKA = ∠DMC (за умовою), то ∠BKM = ∠DMK, а ∠BKM і ∠DMK – внутрішні різносторонні кути при прямих BK, DM і січній AC.

Тому BK ∥ MD.

У чотирикутнику KBMD BK = MD і BK ∥ MD, тому KBMD – паралелограм.

Що і потрібно було довести.