218 Вправа 218Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 3 · стор. 39

218. До сторін паралелограма проведено серединні перпендикуляри, які перетинають протилежні сторони або їх продовження в точках K, L, M і N. Доведіть, що чотирикутник KLMN – паралелограм.

Нехай ABCD – паралелограм, O – точка перетину його діагоналей.

Серединні перпендикуляри до сторін AD, AB, BC і CD перетинають прямі BC, CD, AD і AB відповідно в точках K, L, M і N.

Нехай E – середина AD, F – середина BC.

AE = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AD, CF = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$BC, AD = BC, тому AE = CF.

AE ∥ CF (лежать на паралельних прямих AD і BC).

Тому AFCE – паралелограм (дві протилежні сторони рівні й паралельні).

Його діагоналі AC і EF точкою перетину діляться навпіл, отже, O – середина EF.

EK ⊥ AD і FM ⊥ BC, а BC ∥ AD, тому EK ∥ FM.

FK ∥ EM (лежать на паралельних прямих BC і AD).

Отже, EKFM – паралелограм (за означенням).

Його діагоналі EF і KM точкою перетину діляться навпіл, тому O – середина KM.

Аналогічно O – середина LN.

У чотирикутнику KLMN діагоналі KM і LN точкою перетину діляться навпіл.

Тому KLMN – паралелограм (ознака паралелограма).

Що і потрібно було довести.