219 Вправа 219Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 3 · стор. 39

219. Якщо вершини протилежних кутів чотирикутника однаково віддалені від відповідних діагоналей, то такий чотирикутник – паралелограм. Доведіть.

ABCD – чотирикутник; O – точка перетину діагоналей.

AM ⊥ BD; CP ⊥ BD; AM = CP (за умовою).

BK ⊥ AC; DZ ⊥ AC; BK = DZ (за умовою).

BK ∥ DZ (як два перпендикуляри до однієї прямої).

BD – січна, тому ∠KBO = ∠ZDO (внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих BK, DZ і січній BD).

∠BKO = ∠DZO = 90°.

Звідси △BKO = △DZO (за стороною і прилеглими кутами).

З рівності трикутників: BO = OD.

Аналогічно △AMO = △CPO, звідси AO = CO.

У чотирикутнику ABCD діагоналі точкою перетину O діляться навпіл.

Отже, ABCD – паралелограм (ознака паралелограма).

Що і потрібно було довести.