802 Вправа 802Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 14 · стор. 155

802. Одна зі сторін паралелограма є середньою лінією трикутника, а інші вершини паралелограма лежать на відповідних медіанах трикутника. У якому відношенні ці вершини паралелограма ділять медіани трикутника, рахуючи від відповідних вершин трикутника?

Дано: △ABC; MN – середня лінія, M – середина AC, N – середина BC;

MNPQ – паралелограм; P лежить на медіані BM, Q – на медіані AN.

Знайти: BP : PM, AQ : QN.

Розв'язання

Діагоналі MP і NQ паралелограма лежать на медіанах BM і AN.

Тому точка O їх перетину – точка перетину медіан трикутника.

MO = OP; NO = OQ (діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл).

BO : OM = 2 : 1 (властивість медіан трикутника).

BO = 2OM.

BP = BO – OP = 2OM – OM = OM.

Отже, BP = PO = OM.

BP : PM = 1 : 2.

Аналогічно AQ = QO = ON.

AQ : QN = 1 : 2.

Відповідь: 1 : 2.