817 Вправа 817Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 14 · стор. 157

817. Сума кутів при одній з основ трапеції дорівнює 90°. Доведіть, що висота трапеції є середнім пропорційним між проєкціями її бічних сторін на основу.

Дано: ABCD – трапеція (BC ∥ AD), ∠A + ∠D = 90°; BK, CM – висоти.

Довести: BK2 = AK · MD.

Доведення

З точки B проведемо BN ∥ CD, N ∈ AD.

BCDN – паралелограм (BC ∥ ND, BN ∥ CD).

BN = CD (протилежні сторони паралелограма).

∠BNA = ∠D (відповідні кути при BN ∥ CD і січній AD).

△BKN = △CMD (за гіпотенузою і гострим кутом).

У △ABN: ∠A + ∠BNA = ∠A + ∠D = 90°.

Звідси ∠ABN = 90°.

△ABN – прямокутний, BK – висота, проведена до гіпотенузи.

BK2 = AK · KN (висота – середнє пропорційне між проєкціями катетів на гіпотенузу).

KN = MD (з рівності △BKN і △CMD).

Тоді BK2 = AK · MD.

Отже, висота трапеції – середнє пропорційне між проєкціями бічних сторін AK і MD на основу.

Що і потрібно було довести.