819 Вправа 819Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 14 · стор. 157

819. Спираючись на малюнок 360, доведіть, що: 1) △ADB ∽ △ACB; 2) △BAC ∽ △BDC; 3) △ADK ∽ △ACB; 4) AC · BD = AB · DC + AD · BC.

Доведення

За малюнком ∠DAK = ∠CAB.

1) ∠ADB = ∠ACB (вписані кути, що спираються на одну дугу AB).

2) ∠BAC = ∠BDC (вписані кути, що спираються на одну дугу BC).

Другої пари рівних кутів у цих трикутниках для довільного вписаного чотирикутника немає, тому для доведення рівності 4) використаємо подібність трикутників ADK і ACB та ABK і ACD.

3) △ADK ∽ △ACB (за двома кутами):

∠DAK = ∠CAB (за малюнком);

∠ADB = ∠ACB (спираються на одну дугу AB), тому ∠ADK = ∠ACB.

4) △ACB ∽ △ADK, тоді ${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}}{\mathbf{AD}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BC}}{\mathbf{DK}}}$.

Звідси AC · DK = BC · AD. (I)

△ABK ∽ △ACD (за двома кутами):

∠BAK = ∠BAC + ∠CAK = ∠DAK + ∠CAK = ∠CAD;

∠ABK = ∠ACD (спираються на одну дугу AD).

З подібності △ABK і △ACD: ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{AC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{KB}}{\mathbf{DC}}}$.

Звідси AC · KB = AB · DC. (II)

Додамо почленно рівності (I) і (II).

Маємо:

AC · DK + AC · KB = BC · AD + AB · DC;

AC · (DK + KB) = BC · AD + AB · DC;

AC · BD = AB · DC + AD · BC.

Що і потрібно було довести.