816 Вправа 816Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 14 · стор. 157

816. Доведіть, що квадрат добутку катетів прямокутного трикутника дорівнює квадрату добутку його гіпотенузи на висоту, проведену до гіпотенузи (мал. 359).

Дано: △ACB, ∠C = 90°, CH – висота.

Довести: (AC · BC)2 = (AB · CH)2.

Доведення

AH і HB – проєкції катетів на гіпотенузу.

Оскільки катет є середнім пропорційним між гіпотенузою і проєкцією цього катета на гіпотенузу, то:

AC2 = AB · AH;

BC2 = AB · HB.

Перемножимо почленно ці рівності:

AC2 · BC2 = AB · AH · AB · HB =

= AB2 · AH · HB.

Оскільки висота, проведена до гіпотенузи, є середнім пропорційним між проєкціями катетів на гіпотенузу, то:

CH2 = AH · HB.

Тоді AC2 · BC2 = AB2 · CH2,

або (AC · BC)2 = (AB · CH)2.

Що і потрібно було довести.