810 Вправа 810Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 14 · стор. 156

810. Діагоналі ромба зі стороною a дорівнюють d1 і d2. Визначте висоту ромба, якщо: 1) a = 25 см, d1 = 30 см, d2 = 40 см; 2) a = 169 мм, d1 = 130 мм, d2 = 312 мм.

ABCD – ромб, AK – висота ромба, AK = h.

MN проходить через точку O, MN ⊥ BC, MN ∥ AK.

MN = AK = h.

ON = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$MN = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$h (точка O рівновіддалена від сторін ромба).

h = 2ON.

∠BOC = 90° (діагоналі ромба перпендикулярні).

У прямокутному △BOC ON – висота, проведена до гіпотенузи.

△ONC ∽ △BOC (за двома кутами):

∠C – спільний;

∠ONC = ∠BOC = 90°.

${\displaystyle \frac{\mathbf{ON}}{\mathbf{BO}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{OC}}{\mathbf{BC}}}$;

ON = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BO}\mathbf{\cdot }\mathbf{OC}}{\mathbf{BC}}}$;

ON = ${\displaystyle \frac{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}\mathbf{\cdot }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{a}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{4}\mathbf{a}}}$;

h = 2ON = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}\mathbf{a}}}$.

1) h = ${\displaystyle \frac{\mathbf{30}\mathbf{\cdot }\mathbf{40}}{\mathbf{2}\mathbf{\cdot }\mathbf{25}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{30}\mathbf{\cdot }\mathbf{40}}{\mathbf{50}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{120}}{\mathbf{5}}}$ = 24 (см);

2) h = ${\displaystyle \frac{\mathbf{130}\mathbf{\cdot }\mathbf{312}}{\mathbf{2}\mathbf{\cdot }\mathbf{169}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{10}\mathbf{\cdot }\mathbf{312}}{\mathbf{2}\mathbf{\cdot }\mathbf{13}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{10}\mathbf{\cdot }\mathbf{24}}{\mathbf{2}}}$ = 120 (мм).

Відповідь: 1) 24 см; 2) 120 мм.