815 Вправа 815Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 14 · стор. 156

815. Доведіть, що бісектриси кутів A і C прямокутника ABCD ділять діагональ BD на три рівні частини.

Твердження справджується для прямокутника, у якого одна сторона вдвічі більша за іншу; розглянемо прямокутник, у якого AD = 2AB.

Дано: ABCD – прямокутник, AD = 2AB; AK, CM – бісектриси кутів A і C; P і L – точки перетину AK і CM з діагоналлю BD.

Довести: BP = PL = LD.

Доведення

У △BAD AP – бісектриса.

${\displaystyle \frac{\mathbf{BP}}{\mathbf{PD}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{AD}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ (властивість бісектриси трикутника).

BP = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$BD.

У △BCD CL – бісектриса.

${\displaystyle \frac{\mathbf{BL}}{\mathbf{LD}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BC}}{\mathbf{CD}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{1}}}$ (властивість бісектриси трикутника).

LD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$BD.

PL = BD – BP – LD = BD – ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$BD – ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$BD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$BD.

Отже, BP = PL = LD.

Що і потрібно було довести.