818 Вправа 818Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 14 · стор. 157

818. У гострий кут вписано три кола, причому середнє коло дотикається до двох інших. Доведіть, що радіус середнього кола є середнім пропорційним між радіусами крайніх кіл.

Дано: кола з центрами O1, O2, O3 вписано в кут, середнє коло дотикається до двох інших;

O1A = r, O2B = x, O3C = R – радіуси, проведені в точки дотику зі стороною кута.

Довести: x = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{Rr}}}$.

Доведення

O1A ⊥ AC; O2B ⊥ AC; O3C ⊥ AC (радіуси, проведені в точки дотику).

Центри кіл лежать на бісектрисі кута.

Проведемо O1D ⊥ O2B, O2F ⊥ O3C.

△O1O2D ∽ △O2O3F (за двома кутами):

∠D = ∠F = 90°;

∠O2O1D = ∠O3O2F (відповідні кути при O1D ∥ O2F).

O1O2 = r + x; O2O3 = R + x (кола дотикаються);

O2D = x – r; O3F = R – x.

Тоді ${\displaystyle \frac{{\mathbf{O}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{O}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{O}}_{\mathbf{2}}{\mathbf{O}}_{\mathbf{3}}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{O}}_{\mathbf{2}}\mathbf{D}}{{\mathbf{O}}_{\mathbf{3}}\mathbf{F}}}$;

${\displaystyle \frac{\mathbf{r}\mathbf{+}\mathbf{x}}{\mathbf{R}\mathbf{+}\mathbf{x}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{r}}{\mathbf{R}\mathbf{-}\mathbf{x}}}$;

(r + x)(R – x) = (x – r)(R + x);

rR + Rx – rx – x2 = Rx – Rr + x2 – xr;

2Rr = 2x2;

x2 = Rr;

x = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{Rr}}}$.

Отже, радіус середнього кола – середнє пропорційне між радіусами крайніх кіл.

Що і потрібно було довести.