835 Вправа 835Алгебра 8 клас Бевз 2025 · § 16 · стор. 156

835. Порівняй числа: а) √7 + √3 і √19; б) 6 − √14 і √37 − √15.

Усі числа додатні, тому порівнюємо їхні квадрати.

а) ${\displaystyle {(\sqrt{7}+\sqrt{3})}^2=}$${\displaystyle 10+2\sqrt{21}=}$${\displaystyle 10+\sqrt{84}}$;

${\displaystyle {\left(\sqrt{19}\right)}^2=}$${\displaystyle 19=}$${\displaystyle 10+\sqrt{81}}$;

${\displaystyle \sqrt{84}>\sqrt{81}}$, тому ${\displaystyle \sqrt{7}+\sqrt{3}>\sqrt{19}}$;

б) ${\displaystyle {(6-\sqrt{14})}^2=}$${\displaystyle 36-12\sqrt{14}+14=}$${\displaystyle 50-\sqrt{2016}}$;

${\displaystyle {(\sqrt{37}-\sqrt{15})}^2=}$${\displaystyle 52-2\sqrt{555}=}$${\displaystyle 52-\sqrt{2220}}$;

порівняємо ${\displaystyle 50-\sqrt{2016}}$ і ${\displaystyle 52-\sqrt{2220}}$, тобто ${\displaystyle \sqrt{2220}-\sqrt{2016}}$ і ${\displaystyle 2}$:

${\displaystyle \sqrt{2220}-\sqrt{2016}=}$${\displaystyle \frac{2220-2016}{\sqrt{2220}+\sqrt{2016}}=}$${\displaystyle \frac{204}{\sqrt{2220}+\sqrt{2016}}}$;

${\displaystyle \sqrt{2220}+\sqrt{2016}<48+45=}$${\displaystyle 93}$, тому дріб >${\displaystyle \frac{204}{93}>2}$;

отже, ${\displaystyle 50-\sqrt{2016}>52-\sqrt{2220}}$ і ${\displaystyle 6-\sqrt{14}>\sqrt{37}-\sqrt{15}}$.

(перевірка: ${\displaystyle 6-\sqrt{14}\approx 2,258}$, ${\displaystyle \sqrt{37}-\sqrt{15}\approx 2,210}$)