843 Вправа 843Алгебра 8 клас Бевз 2025 · § 16 · стор. 157

843. Задача французького математика Ж. Л. Ф. Бертрана (1822–1900). Доведи, що (2 + √3)/(√2 + √(2 + √3)) + (2 − √3)/(√2 − √(2 − √3)) = √2.

Спростимо корені: ${\displaystyle 2+\sqrt{3}=}$${\displaystyle \frac{4+2\sqrt{3}}{2}=}$${\displaystyle \frac{{(\sqrt{3}+1)}^2}{2}}$, тому

${\displaystyle \sqrt{2+\sqrt{3}}=}$${\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}}$; аналогічно ${\displaystyle \sqrt{2-\sqrt{3}}=}$${\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}}$.

Знаменники:

${\displaystyle \sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}=}$${\displaystyle \frac{2+\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}=}$${\displaystyle \frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}$;

${\displaystyle \sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}=}$${\displaystyle \frac{2-\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}=}$${\displaystyle \frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}$;

Ліва частина:

${\displaystyle \sqrt{2}\cdot (\frac{2+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}+\frac{2-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}})}$=

=${\displaystyle \sqrt{2}\cdot \frac{(2+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}{9-3}}$=

=${\displaystyle \sqrt{2}\cdot \frac{(3+\sqrt{3})+(3-\sqrt{3})}{6}=}$${\displaystyle \sqrt{2}\cdot \frac{6}{6}=}$${\displaystyle \sqrt{2}}$.

Рівність доведено.