842 Вправа 842Алгебра 8 клас Бевз 2025 · § 16 · стор. 157

842. Доведи рівності індійського математика А. Бхаскара: а) √(5 + √24) = √2 + √3; б) (√9 + √54 + √450 + √75)/(5 + √3) = 3√2 + √3; в) √(10 + √24 + √40 + √60) = √2 + √3 + √5.

Піднесемо праву частину до квадрата (вона додатна) або перетворимо ліву частину.

а) ${\displaystyle {(\sqrt{2}+\sqrt{3})}^2=}$${\displaystyle 2+2\sqrt{6}+3=}$${\displaystyle 5+\sqrt{24}}$;

отже, ${\displaystyle \sqrt{5+\sqrt{24}}=}$${\displaystyle \sqrt{2}+\sqrt{3}}$ — доведено;

б) чисельник: ${\displaystyle 3+3\sqrt{6}+15\sqrt{2}+5\sqrt{3}}$;

${\displaystyle 3+5\sqrt{3}+3\sqrt{6}+15\sqrt{2}}$=

=${\displaystyle \sqrt{3}\left(\sqrt{3}+5\right)+3\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+5\right)}$=

=${\displaystyle \left(5+\sqrt{3}\right)(\sqrt{3}+3\sqrt{2})}$;

після скорочення на ${\displaystyle 5+\sqrt{3}}$ одержимо ${\displaystyle 3\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ — доведено;

в) ${\displaystyle {(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})}^2=}$${\displaystyle 2+3+5+2\sqrt{6}+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}}$;

${\displaystyle 2\sqrt{6}=}$${\displaystyle \sqrt{24}}$;

${\displaystyle 2\sqrt{10}=}$${\displaystyle \sqrt{40}}$;

${\displaystyle 2\sqrt{15}=}$${\displaystyle \sqrt{60}}$;

отже, ${\displaystyle {(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})}^2=}$${\displaystyle 10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}}$ — доведено.