1011 Вправа 1011Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 17 · стор. 199

1011. Щоб знайти, на якій висоті CK летить літак (мал. 447), два спостерігачі в пунктах M і N установили кутомірні прилади й виміряли відстань MN = a. У той момент, коли точки A, B і C лежали в одній вертикальній площині, виміряли одночасно кути α і β. Знаючи відстань a, кути α і β, висоту h приладів, визначили шукану висоту CK. Поясніть спосіб знаходження висоти. Знайдіть висоту, на якій перебував літак, якщо результати вимірювання такі: a = 80 м, h = 1,5 м, α = 39°, β = 44°.

AB = MN = a; DK = AM = h; ∠CAD = α; ∠CBD = β.

Нехай CD = x м.

У △ACD (∠D = 90°): AD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{CD}}{\mathbf{tg}\mathit{\alpha }}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{x}}{\mathbf{tg}\mathit{\alpha }}}$.

У △BCD (∠D = 90°): BD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{CD}}{\mathbf{tg}\mathbf{\beta }}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{x}}{\mathbf{tg}\mathbf{\beta }}}$.

AB = AD – BD, звідки маємо:

${\displaystyle \frac{\mathbf{x}}{\mathbf{tg}\mathit{\alpha }}}$ – ${\displaystyle \frac{\mathbf{x}}{\mathbf{tg}\mathbf{\beta }}}$ = a;

x(${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{tg}\mathit{\alpha }}}$ – ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{tg}\mathbf{\beta }}}$) = a;

x · ${\displaystyle \frac{\mathbf{tg}\mathbf{\beta }\mathbf{-}\mathbf{tg}\mathit{\alpha }}{\mathbf{tg}\mathit{\alpha }\mathbf{\cdot }\mathbf{tg}\mathbf{\beta }}}$ = a;

x = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\mathbf{\cdot }\mathbf{tg}\mathit{\alpha }\mathbf{\cdot }\mathbf{tg}\mathbf{\beta }}{\mathbf{tg}\mathbf{\beta }\mathbf{-}\mathbf{tg}\mathit{\alpha }}}$.

Шукана висота: CK = CD + DK = x + h.

tg 39° ≈ 0,8098;

tg 44° ≈ 0,9657;

x ≈ ${\displaystyle \frac{\mathbf{80}\mathbf{\cdot }\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{8098}\mathbf{\cdot }\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{9657}}{\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{9657}\mathbf{-}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{8098}}}$ ≈ ${\displaystyle \frac{\mathbf{62}\mathbf{,}\mathbf{56}}{\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{1559}}}$ ≈ 401,3 (м);

CK ≈ 401,3 + 1,5 = 402,8 ≈ 403 (м).

Відповідь: ≈ 403 м.