988 Вправа 988Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 17 · стор. 196

988. Знайдіть невідомі сторони й гострі кути прямокутного трикутника за такими даними: 1) за гіпотенузою та гострим кутом: а) c = 8, ∠A = 70°; б) c = 82, ∠A = 42°; в) c = 18,2, ∠A = 32°; г) c = 4,67, ∠A = 65°; …

1) За гіпотенузою та гострим кутом.

Дано: △ABC (∠C = 90°); AB = c; ∠A = α.

Знайти: AC = b, BC = a, ∠B.

Розв'язання

а) c = 8; ∠A = 70°.

∠B = 90° – ∠A = 90° – 70° = 20°.

AC = c · cos A = 8 · cos 70° ≈ 8 · 0,342 ≈ 2,74;

BC = c · sin A = 8 · sin 70° ≈ 8 · 0,9397 ≈ 7,52.

б) c = 82; ∠A = 42°.

∠B = 90° – ∠A = 90° – 42° = 48°.

AC = c · cos A = 82 · cos 42° ≈ 82 · 0,74314 ≈ 60,94;

BC = c · sin A = 82 · sin 42° ≈ 82 · 0,6691 ≈ 54,87.

в) c = 18,2; ∠A = 32°.

∠B = 90° – ∠A = 90° – 32° = 58°.

AC = c · cos A = 18,2 · cos 32° ≈ 18,2 · 0,848 ≈ 15,43;

BC = c · sin A = 18,2 · sin 32° ≈ 18,2 · 0,5299 ≈ 9,64.

г) c = 4,67; ∠A = 65°.

∠B = 90° – ∠A = 90° – 65° = 25°.

AC = c · cos A = 4,67 · cos 65° ≈ 4,67 · 0,4226 ≈ 1,97;

BC = c · sin A = 4,67 · sin 65° ≈ 4,67 · 0,9063 ≈ 4,23.

Відповідь: 1) а) b ≈ 2,74, a ≈ 7,52, ∠B = 20°; б) b ≈ 60,94, a ≈ 54,87, ∠B = 48°; в) b ≈ 15,43, a ≈ 9,64, ∠B = 58°; г) b ≈ 1,97, a ≈ 4,23, ∠B = 25°.

988. Знайдіть невідомі сторони й гострі кути прямокутного трикутника за такими даними: … 2) за катетом і прилеглим кутом: а) a = 12, ∠A = 32°; б) a = 18, ∠A = 17°; в) a = 12, ∠A = 53°; г) a = 3,71, ∠A = 19°.

2) За катетом і прилеглим кутом.

Дано: △ABC (∠C = 90°); AC = a – катет, прилеглий до кута A; ∠A = α.

Знайти: AB, BC, ∠B.

Розв'язання

а) a = 12; ∠A = 32°.

∠B = 90° – ∠A = 90° – 32° = 58°;

AB = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{cos}\mathbf{A}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{12}}{\mathbf{cos}{\mathbf{32}}^{\mathbf{\circ }}}}$ ≈ ${\displaystyle \frac{\mathbf{12}}{\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{848}}}$ ≈ 14,15;

BC = a · tg A = 12 · tg 32° ≈ 12 · 0,6249 ≈ 7,5.

б) a = 18; ∠A = 17°.

∠B = 90° – ∠A = 90° – 17° = 73°;

AB = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{cos}\mathbf{A}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{18}}{\mathbf{cos}{\mathbf{17}}^{\mathbf{\circ }}}}$ ≈ ${\displaystyle \frac{\mathbf{18}}{\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{9563}}}$ ≈ 18,82;

BC = a · tg A = 18 · tg 17° ≈ 18 · 0,3057 ≈ 5,5.

в) a = 12; ∠A = 53°.

∠B = 90° – ∠A = 90° – 53° = 37°;

AB = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{cos}\mathbf{A}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{12}}{\mathbf{cos}{\mathbf{53}}^{\mathbf{\circ }}}}$ ≈ ${\displaystyle \frac{\mathbf{12}}{\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{6018}}}$ ≈ 19,94;

BC = a · tg A = 12 · tg 53° ≈ 12 · 1,327 ≈ 15,92.

г) a = 3,71; ∠A = 19°.

∠B = 90° – ∠A = 90° – 19° = 71°;

AB = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{cos}\mathbf{A}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{71}}{\mathbf{cos}{\mathbf{19}}^{\mathbf{\circ }}}}$ ≈ ${\displaystyle \frac{\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{71}}{\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{9455}}}$ ≈ 3,92;

BC = a · tg A = 3,71 · tg 19° ≈ 3,71 · 0,3443 ≈ 1,28.

Відповідь: 2) а) AB ≈ 14,15, BC ≈ 7,5, ∠B = 58°; б) AB ≈ 18,82, BC ≈ 5,5, ∠B = 73°; в) AB ≈ 19,94, BC ≈ 15,92, ∠B = 37°; г) AB ≈ 3,92, BC ≈ 1,28, ∠B = 71°.