987 Вправа 987Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 17 · стор. 196

987. Знайдіть невідомі сторони й гострі кути прямокутного трикутника за такими даними: 1) за двома катетами: а) a = 20, b = 21; б) a = 9, b = 12; в) a = 24, b = 18; г) a = 23,5, b = 40,2; …

1) За двома катетами.

Дано: △ABC (∠C = 90°); AC = b, BC = a.

Знайти: AB = c; ∠A = α; ∠B = β.

Розв'язання

а) a = 20, b = 21.

AB = ${\displaystyle \sqrt{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{+}\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{{\mathbf{20}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{+}\mathbf{21}}^{\mathbf{2}}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{400}\mathbf{+}\mathbf{441}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{841}}}$ = 29.

tg A = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{20}}{\mathbf{21}}}$ ≈ 0,9524;

∠A ≈ 43°36'.

∠B = 90° – ∠A ≈ 90° – 43°36' = 46°24'.

б) a = 9, b = 12.

a : b = 9 : 12 = 3 : 4, тому △ABC подібний до єгипетського трикутника зі сторонами 3, 4, 5 (k = 3):

AB = 5 · 3 = 15.

tg A = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{9}}{\mathbf{12}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}}$ = 0,75;

∠A ≈ 36°52'.

∠B = 90° – ∠A ≈ 90° – 36°52' = 53°8'.

в) a = 24, b = 18.

a : b = 24 : 18 = 4 : 3, тому △ABC подібний до єгипетського трикутника зі сторонами 3, 4, 5 (k = 6):

AB = 5 · 6 = 30.

tg A = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{24}}{\mathbf{18}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}}$ ≈ 1,3333;

∠A ≈ 53°8'.

∠B = 90° – ∠A ≈ 90° – 53°8' = 36°52'.

г) a = 23,5; b = 40,2.

AB = ${\displaystyle \sqrt{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{+}\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{{\mathbf{23}\mathbf{,}\mathbf{5}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{+}\mathbf{40}\mathbf{,}\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}}}$ =

= ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{552}\mathbf{,}\mathbf{25}\mathbf{+}\mathbf{1616}\mathbf{,}\mathbf{04}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{2168}\mathbf{,}\mathbf{29}}}$ ≈ 46,56.

tg A = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{23}\mathbf{,}\mathbf{5}}{\mathbf{40}\mathbf{,}\mathbf{2}}}$ ≈ 0,5846;

∠A ≈ 30°19'.

∠B = 90° – ∠A ≈ 90° – 30°19' = 59°41'.

Відповідь: 1) а) c = 29, α ≈ 43°36', β ≈ 46°24'; б) c = 15, α ≈ 36°52', β ≈ 53°8'; в) c = 30, α ≈ 53°8', β ≈ 36°52'; г) c ≈ 46,56, α ≈ 30°19', β ≈ 59°41'.

987. Знайдіть невідомі сторони й гострі кути прямокутного трикутника за такими даними: … 2) за гіпотенузою та катетом: а) c = 17, a = 15; б) c = 20, a = 16; в) c = 65, a = 56; г) c = 2,93, b = 2,85.

2) За гіпотенузою та катетом.

Дано: △ABC (∠C = 90°); AB = c; BC = a, AC = b.

Знайти: невідомий катет; ∠A = α; ∠B = β.

Розв'язання

а) c = 17, a = 15.

AC = ${\displaystyle \sqrt{{\mathbf{c}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{-}\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{{\mathbf{17}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{-}\mathbf{15}}^{\mathbf{2}}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{(}\mathbf{17}\mathbf{-}\mathbf{15}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathbf{17}\mathbf{+}\mathbf{15}\mathbf{)}}}$ =

= ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{2}\mathbf{\cdot }\mathbf{32}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{64}}}$ = 8.

sin A = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{c}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{15}}{\mathbf{17}}}$ ≈ 0,8824;

∠A ≈ 61°56'.

∠B = 90° – ∠A ≈ 90° – 61°56' = 28°4'.

б) c = 20, a = 16.

a : c = 16 : 20 = 4 : 5, тому △ABC подібний до єгипетського трикутника зі сторонами 3, 4, 5 (k = 4):

AC = 3 · 4 = 12.

sin A = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{c}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{16}}{\mathbf{20}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{4}}{\mathbf{5}}}$ = 0,8;

∠A ≈ 53°8'.

∠B = 90° – ∠A ≈ 90° – 53°8' = 36°52'.

в) c = 65, a = 56.

AC = ${\displaystyle \sqrt{{\mathbf{65}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{-}\mathbf{56}}^{\mathbf{2}}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{4225}\mathbf{-}\mathbf{3136}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{1089}}}$ = 33.

sin A = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{c}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{56}}{\mathbf{65}}}$ ≈ 0,8615;

∠A ≈ 59°29'.

∠B = 90° – ∠A ≈ 90° – 59°29' = 30°31'.

г) c = 2,93, b = 2,85.

BC = ${\displaystyle \sqrt{{\mathbf{c}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{-}\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{{\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{93}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{85}}^{\mathbf{2}}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{8}\mathbf{,}\mathbf{5849}\mathbf{-}\mathbf{8}\mathbf{,}\mathbf{1225}}}$ =

= ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{4624}}}$ = 0,68.

cos A = ${\displaystyle \frac{\mathbf{b}}{\mathbf{c}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{85}}{\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{93}}}$ ≈ 0,9727;

∠A ≈ 13°25'.

∠B = 90° – ∠A ≈ 90° – 13°25' = 76°35'.

Відповідь: 2) а) b = 8, α ≈ 61°56', β ≈ 28°4'; б) b = 12, α ≈ 53°8', β ≈ 36°52'; в) b = 33, α ≈ 59°29', β ≈ 30°31'; г) a = 0,68, α ≈ 13°25', β ≈ 76°35'.