991 Вправа 991Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 17 · стор. 196

991. У коло радіусом 5 см вписано рівнобедрений трикутник із кутом між бічними сторонами 70°. Знайдіть: 1) висоту, проведену до основи; 2) бічну сторону трикутника.

Дано: △ABC вписаний у коло (O; R); AB = BC; ∠B = 70°; OA = 5 см.

Знайти: 1) BD; 2) AB.

Розв'язання

1) У рівнобедреному △ABC висота BD є медіаною і бісектрисою, тому центр O описаного кола лежить на BD.

∠ABD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · ∠B = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · 70° = 35°.

∠AOC = 2 · ∠ABC = 2 · 70° = 140° (центральний кут удвічі більший за вписаний кут, що спирається на ту саму дугу).

∠AOD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · ∠AOC = 70° (OD – бісектриса кута AOC рівнобедреного △AOC).

У △ADO (∠D = 90°): sin ∠AOD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AD}}{\mathbf{AO}}}$;

AD = AO · sin ∠AOD = 5 · sin 70° ≈

≈ 5 · 0,940 = 4,7 (см).

У △ADB (∠D = 90°): tg ∠ABD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AD}}{\mathbf{BD}}}$;

BD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AD}}{\mathbf{tg}\angle \mathbf{ABD}}}$ ≈ ${\displaystyle \frac{\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{7}}{\mathbf{tg}{\mathbf{35}}^{\mathbf{\circ }}}}$ ≈ ${\displaystyle \frac{\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{7}}{\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{7}}}$ ≈ 6,71 (см).

2) У △ADB (∠D = 90°): sin ∠ABD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AD}}{\mathbf{AB}}}$;

AB = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AD}}{\mathbf{sin}\angle \mathbf{ABD}}}$ ≈ ${\displaystyle \frac{\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{7}}{\mathbf{sin}{\mathbf{35}}^{\mathbf{\circ }}}}$ ≈ ${\displaystyle \frac{\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{7}}{\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{574}}}$ ≈ 8,19 (см).

Відповідь: 1) ≈ 6,71 см; 2) ≈ 8,19 см.