250 Вправа 250Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 4 · стор. 46

250. Перпендикуляр, проведений із вершини кута прямокутника до діагоналі, ділить цей кут у відношенні 2 : 3. Знайдіть: 1) кути, утворені діагоналями зі сторонами прямокутника; 2) кут між проведеним перпендикуляром та іншою діагоналлю.

ABCD – прямокутник; DK ⊥ AC; ∠ADK : ∠KDC = 2 : 3; M – точка перетину діагоналей.

1) Нехай ∠ADK = 2x, ∠KDC = 3x; ∠ADC = 90°.

2x + 3x = 90°;

5x = 90°;

x = 18°.

∠ADK = 2 · 18° = 36°;

∠KDC = 3 · 18° = 54°.

У △ADK (∠K = 90°): ∠DAK = 90° – 36° = 54°.

У △DKC (∠K = 90°): ∠KCD = 90° – 54° = 36°.

Отже, діагоналі утворюють зі сторонами прямокутника кути 54° і 36°.

2) MD = MC (половини рівних діагоналей), тому △MDC – рівнобедрений.

∠MDC = ∠MCD = 36° (кути при основі рівнобедреного трикутника).

∠KDM = ∠KDC – ∠MDC = 54° – 36° = 18°.

Відповідь: 1) 54°, 36°; 2) 18°.