265 Вправа 265Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 4 · стор. 47

265. Доведіть, що сума відстаней від точки, яка лежить на основі рівнобедреного трикутника, до його бічних сторін дорівнює висоті, проведеній з вершини основи.

Дано: △ABC – рівнобедрений; AC = BC; M ∈ AB;

MK ⊥ AC; MP ⊥ BC; AH ⊥ BC.

Довести: MK + MP = AH.

Доведення

Проведемо MF ∥ BC (F ∈ AC); AH перетинає MF у точці T.

∠FMA = ∠CBA (відповідні кути при MF ∥ BC і січній AB).

∠CBA = ∠CAB (кути при основі рівнобедреного трикутника).

Тому ∠FMA = ∠FAM, отже, △AFM – рівнобедрений: FA = FM.

MK і AT – висоти △AFM, проведені до бічних сторін, тому MK = AT (висоти рівнобедреного трикутника, проведені до бічних сторін, рівні).

AT ⊥ MF (бо AH ⊥ BC і MF ∥ BC).

У чотирикутнику TMPH усі кути прямі, тому TMPH – прямокутник.

TH = MP (протилежні сторони прямокутника).

AH = AT + TH = MK + MP.

Що і потрібно було довести.