267 Вправа 267Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 4 · стор. 48

267. Доведіть, що коли в чотирикутнику діагоналі рівні й у точці перетину діляться навпіл, то такий чотирикутник є прямокутником.

ABCD – чотирикутник; AC = BD; AO = OC; DO = OB.

△DOC = △BOA (за двома сторонами і кутом між ними):

DO = OB; OC = OA (за умовою);

∠DOC = ∠BOA (вертикальні кути).

З рівності трикутників: DC = AB і ∠1 = ∠2.

∠1 і ∠2 – внутрішні різносторонні кути при прямих DC, AB і січній AC, тому DC ∥ AB.

DC ∥ AB і DC = AB, тому ABCD – паралелограм (ознака паралелограма).

Діагоналі паралелограма ABCD рівні, тому він є прямокутником (ознака прямокутника).

Що і потрібно було довести.