271 Вправа 271Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 4 · стор. 48

271. Доведіть, що в прямокутному трикутнику медіана, проведена з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи.

△ABC – прямокутний; ∠BCA = 90°; CO – медіана.

Доведемо, що CO = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AB.

Проведемо BD ∥ AC і AD ∥ BC.

CADB – паралелограм (протилежні сторони попарно паралельні).

∠C = 90°, тому CADB – прямокутник (див. задачу 243).

AB = CD (діагоналі прямокутника рівні).

Діагоналі прямокутника точкою перетину діляться навпіл, тому діагональ CD проходить через середину O діагоналі AB.

OB = OA = OD = OC.

OC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$CD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AB.

Що і потрібно було довести.