151 Вправа 151Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 2 · стор. 28

151. Доведіть, що бісектриси кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, взаємно перпендикулярні.

Дано: ABCD – паралелограм; AK, BK – бісектриси кутів A і B.

Довести: AK ⊥ BK.

Доведення

Нехай ∠A = α, тоді ∠B = 180° – α.

∠BAK = ${\displaystyle \frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}$ (AK – бісектриса);

∠ABK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$(180° – α) (BK – бісектриса).

З △ABK:

∠AKB = 180° – (∠BAK + ∠ABK) =

= 180° – (${\displaystyle \frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}$ + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$(180° – α)) =

= 180° – (${\displaystyle \frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}$ + 90° – ${\displaystyle \frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}$) = 90°.

Отже, BK ⊥ AK, тобто бісектриси кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, перпендикулярні.

Що і потрібно було довести.