156 Вправа 156Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 2 · стор. 29
Умова
Із точки M, узятої на основі AC рівнобедреного трикутника ABC, проведено прямі, паралельні бічним сторонам (мал. 49). Доведіть, що периметр утвореного паралелограма MNBK не залежить від положення точки M.
Розв'язок
156. Із точки M, узятої на основі AC рівнобедреного трикутника ABC, проведено прямі, паралельні бічним сторонам (мал. 49). Доведіть, що периметр утвореного паралелограма MNBK не залежить від положення точки M.
Доведення
MN ∥ BC (за умовою); AC – січна.
Тому ∠NMA = ∠BCA (відповідні кути).
За умовою △ABC – рівнобедрений, тому ∠BCA = ∠BAC.
Оскільки ∠NMA = ∠BCA, то ∠NMA = ∠BAC.
Звідси △ANM – рівнобедрений, тому AN = NM.
Аналогічно △MKC – рівнобедрений, тому MK = KC.
PMNBK = MN + NB + BK + KM =
= AN + NB + BK + KC = AB + BC = 2AB
(AB = BC, оскільки △ABC – рівнобедрений).
Отже, периметр паралелограма MNBK дорівнює 2AB і не залежить від положення точки M.
Що і потрібно було довести.