158 Вправа 158Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 2 · стор. 29

158. У паралелограмі ABCD через точку O перетину діагоналей проведено пряму, яка перетинає сторони BC та AD в точках E і F. Доведіть, що: а) OE = OF; б) BE = DF; в) CE = AF.

Доведення

У △BOE і △DOF:

BO = OD (O – середина діагоналі BD);

∠BOE = ∠DOF (вертикальні);

∠OBE = ∠ODF (внутрішні різносторонні при BC ∥ AD і січній BD).

Звідси △BOE = △DOF (за стороною та прилеглими до неї кутами).

З рівності трикутників маємо:

а) OE = OF;

б) BE = DF.

У △COE і △AOF:

OC = OA (O – середина діагоналі AC);

OE = OF (доведено в пункті а);

∠EOC = ∠FOA (вертикальні).

Звідси △COE = △AOF (за двома сторонами і кутом між ними).

З рівності трикутників:

в) CE = AF.

Що і потрібно було довести.