152 Вправа 152Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 2 · стор. 28

152. Доведіть, що бісектриси двох протилежних кутів паралелограма паралельні.

Дано: ABCD – паралелограм; AK – бісектриса ∠A; CM – бісектриса ∠C.

Довести: AK ∥ CM.

Доведення

Нехай ∠A = α, тоді ∠C = ∠A = α (протилежні кути паралелограма).

AK – бісектриса ∠A, тому ∠KAD = ${\displaystyle \frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}$;

CM – бісектриса ∠C, тому ∠MCD = ${\displaystyle \frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}$;

∠D = ∠B = 180° – α.

У △MCD:

∠CMD = 180° – (${\displaystyle \frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}$ + 180° – α) = ${\displaystyle \frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}$.

∠KAD = ∠CMD = ${\displaystyle \frac{\mathit{\alpha }}{\mathbf{2}}}$, а ці кути – відповідні при прямих AK, CM і січній AD.

Тому AK ∥ CM, тобто бісектриси протилежних кутів паралелограма паралельні.

Що і потрібно було довести.