171 Вправа 171Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 2 · стор. 30

171. Два кути паралелограма відносяться як 1 : 3. Знайдіть кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини: 1) тупого кута; 2) гострого кута.

Кути відносяться як 1 : 3, отже, ці кути сусідні, бо нерівні.

Нехай ∠A = x, ∠B = 3x.

∠A + ∠B = 180°;

x + 3x = 180°;

4x = 180°;

x = 45°.

∠A = 45°; ∠B = 45° · 3 = 135°.

1) BK ⊥ AD; BM ⊥ CD;

∠KBM – кут між висотами, проведеними з вершини тупого кута.

У △ABK (∠AKB = 90°, ∠BAK = 45°):

∠ABK = 90° – 45° = 45°.

∠C = ∠A = 45° (протилежні кути паралелограма).

У △CMB (∠CMB = 90°, ∠C = 45°):

∠CBM = 90° – 45° = 45°.

∠KBM = ∠ABC – ∠ABK – ∠CBM =

= 135° – 45° – 45° = 45°.

2) Висоти, проведені з вершини гострого кута, проведено до продовжень сторін:

AP ⊥ BC; AF ⊥ CD.

∠PAF – кут між висотами, проведеними з вершини гострого кута.

∠PBA = 180° – ∠ABC = 180° – 135° = 45°, тоді

∠PAB = 90° – 45° = 45° (з прямокутного △APB).

Аналогічно ∠FAD = 45° (з прямокутного △AFD).

∠PAF = ∠PAB + ∠BAD + ∠DAF =

= 45° + 45° + 45° = 135°.

Відповідь: 1) 45°; 2) 135°.