174 Вправа 174Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 2 · стор. 30

174. За якої умови точка перетину бісектрис двох кутів паралелограма, що прилягають до однієї сторони, лежить на протилежній стороні?

ABCD – паралелограм; K ∈ BC;

AK – бісектриса ∠A; DK – бісектриса ∠D.

∠BAK = ∠KAD (AK – бісектриса);

∠KAD = ∠BKA (внутрішні різносторонні при AD ∥ BC і січній AK).

Тому ∠BAK = ∠BKA.

Звідси △ABK – рівнобедрений, AB = BK.

Аналогічно △KCD – рівнобедрений, тому KC = CD.

Оскільки AB = CD, то BK = KC.

Оскільки BK = AB, то BC = 2BK = 2AB.

Отже, бісектриси кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, перетинаються в точці, що лежить на протилежній стороні, за умови, що одна сторона паралелограма вдвічі більша за другу.

Відповідь: якщо сторони паралелограма відносяться як 1 : 2.