488 Вправа 488Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 8 · стор. 92

488. Точки A, B і C ділять коло на три дуги. Знайдіть кути трикутника ABC, якщо градусні міри дуг відносяться як: 1) 1 : 1 : 1; 2) 1 : 2 : 2.

Нехай ∪AB : ∪BC : ∪AC = m : n : k, тоді

∪AB = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{360}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{\cdot }\mathbf{m}}{\mathbf{m}\mathbf{+}\mathbf{n}\mathbf{+}\mathbf{k}}}$;

∪BC = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{360}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{\cdot }\mathbf{n}}{\mathbf{m}\mathbf{+}\mathbf{n}\mathbf{+}\mathbf{k}}}$;

∪AC = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{360}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{\cdot }\mathbf{k}}{\mathbf{m}\mathbf{+}\mathbf{n}\mathbf{+}\mathbf{k}}}$.

За теоремою про вписаний кут:

∠A = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∪BC = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{\cdot }\mathbf{n}}{\mathbf{m}\mathbf{+}\mathbf{n}\mathbf{+}\mathbf{k}}}$;

∠B = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∪AC = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{\cdot }\mathbf{k}}{\mathbf{m}\mathbf{+}\mathbf{n}\mathbf{+}\mathbf{k}}}$;

∠C = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∪AB = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{\cdot }\mathbf{m}}{\mathbf{m}\mathbf{+}\mathbf{n}\mathbf{+}\mathbf{k}}}$.

1) ∠A = ∠B = ∠C = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{\cdot }\mathbf{1}}{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{1}}}$ = 60°.

2) ∠A = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{\cdot }\mathbf{2}}{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{+}\mathbf{2}}}$ = 72°;

∠B = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{\cdot }\mathbf{2}}{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{+}\mathbf{2}}}$ = 72°;

∠C = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{\cdot }\mathbf{1}}{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{+}\mathbf{2}}}$ = 36°.

Відповідь: 1) 60°, 60°, 60°; 2) 72°, 72°, 36°.