515 Вправа 515Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 8 · стор. 95

515. Коло поділено точками A, B і C на дуги, що відносяться як 11 : 3 : 4. Через точки A, B і C проведено дотичні до їх взаємного перетину. Знайдіть кути утвореного трикутника.

Нехай ∪AC : ∪BC : ∪AB = 11 : 3 : 4.

∪AC = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{360}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{\cdot }\mathbf{11}}{\mathbf{11}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{+}\mathbf{4}}}$ = 220°;

∪BC = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{360}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{\cdot }\mathbf{3}}{\mathbf{11}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{+}\mathbf{4}}}$ = 60°;

∪AB = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{360}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{\cdot }\mathbf{4}}{\mathbf{11}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{+}\mathbf{4}}}$ = 80°.

MA ⊥ OA, MC ⊥ OC, NK ⊥ OB (радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний до дотичної).

Кут між дотичними вимірюється піврізницею дуг, що містяться між його сторонами (задачі 510, 513):

∠AMC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$(∪AC – ∪ABC) =

= ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · (220° – 140°) = 40°;

∠ANB = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$(∪BCA – ∪AB) =

= ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · (280° – 80°) = 100°;

∠MNK = 180° – ∠ANB = 180° – 100° = 80° (суміжні кути);

∠MKN = 180° – ∠AMC – ∠MNK =

= 180° – 40° – 80° = 60° (сума кутів трикутника).

Відповідь: 40°, 60°, 80°.