516 Вправа 516Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 8 · стор. 95

516. До двох кіл із центрами O і O1, що дотикаються зовні в точці A, проведено спільну дотичну BC (B і C – точки дотику). Доведіть, що кут BAC – прямий.

Дано: кола з центрами O і O1 дотикаються зовні в точці A; BC – спільна дотична.

Довести: ∠BAC = 90°.

Доведення

B і C – точки дотику, тому OB ⊥ BC, O1C ⊥ BC.

Звідси OB ∥ O1C.

Тоді ∠BOA + ∠CO1A = 180° (внутрішні односторонні кути).

За задачею 510:

∠CBA = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∪BA = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠BOA;

∠BCA = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∪AC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠AO1C.

За теоремою про суму кутів трикутника:

∠BAC = 180° – (∠BCA + ∠CBA) =

= 180° – ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$(∠AO1C + ∠BOA) = 180° – ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · 180° = 90°.

Що і потрібно було довести.