1239 Вправа 1239Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 22 · стор. 245

1239. Бічні сторони трапеції утворюють з її основою кути 45° і 30°. Знайдіть площу трапеції, якщо її менша основа дорівнює висоті завдовжки 6 см.

Дано: ABCD – трапеція; ∠A = 45°; ∠D = 30°; BC = BH = 6 см.

Знайти: SABCD.

Розв'язання

Проведемо висоти BH і CM.

У △AHB (∠H = 90°):

∠ABH = 90° – ∠A = 90° – 45° = 45°.

Тоді △AHB – рівнобедрений;

AH = BH = 6 см.

У △CMD (∠M = 90°):

CM = BH = 6 см;

tg D = ${\displaystyle \frac{\mathbf{CM}}{\mathbf{MD}}}$;

MD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{CM}}{\mathbf{tg}\mathbf{D}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{6}}{\mathbf{tg}{\mathbf{30}}^{\mathbf{\circ }}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{6}\mathbf{\cdot }\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{1}}}$ = 6${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ (см).

HM = BC = 6 см (HBCM – прямокутник).

AD = AH + HM + MD = 6 + 6 + 6${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ = 12 + 6${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ (см).

SABCD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BC}\mathbf{+}\mathbf{AD}}{\mathbf{2}}}$ · BH;

SABCD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{6}\mathbf{+}\mathbf{12}\mathbf{+}\mathbf{6}\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}}$ · 6 = (18 + 6${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$) · 3 =

= 54 + 18${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ = 18(3 + ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$) (см²).

Відповідь: 18(3 + ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$) см².