1260 Вправа 1260Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 22 · стор. 247

1260. У трикутнику через точку перетину медіан проведено три відрізки, кожний з яких паралельний одній зі сторін трикутника. Доведіть, що три утворені трапеції, які складають трикутник, мають рівні площі.

Дано: △ABC, M – точка перетину медіан; TK ∥ AC; PS ∥ BC; LN ∥ AB.

Довести: SABNL = SPBCS = SATKC.

Доведення

TK ∥ AC, тоді △TBK ~ △ABC.

Відношення висот цих трикутників, проведених до паралельних сторін, дорівнює відношенню, у якому медіана BE ділиться точкою M.

BM = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$BE, тому висота △TBK дорівнює ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$ висоти △ABC;

k = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$.

S△TBK = (${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$)2 · S△ABC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{4}}{\mathbf{9}}}$S△ABC.

SATKC = S△ABC – S△TBK = S△ABC – ${\displaystyle \frac{\mathbf{4}}{\mathbf{9}}}$S△ABC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{5}}{\mathbf{9}}}$S△ABC.

Аналогічно трапеції PBCS і ABNL, утворені відрізками, паралельними сторонам BC і AB, мають площі ${\displaystyle \frac{\mathbf{5}}{\mathbf{9}}}$S△ABC.

Отже, SABNL = SPBCS = SATKC.

Що і потрібно було довести.