1253 Вправа 1253Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 22 · стор. 247

1253. Відрізок, паралельний основам a і b трапеції, ділить її на дві фігури із рівними площами. Яка довжина цього відрізка?

Нехай дано трапецію ABCD; BC = a; AD = b; MN ∥ AD; MN = x; SMBCN = SAMND.

Нехай h1 і h2 – висоти трапецій MBCN і AMND.

Проведемо CF ∥ AB; E – точка перетину CF і MN.

ME = AF = BC = a (MBCE і ABCF – паралелограми);

EN = x – a;

FD = b – a.

△ECN ~ △FCD (за двома кутами), тому ${\displaystyle \frac{\mathbf{EN}}{\mathbf{FD}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{h}}_{\mathbf{1}}}{{\mathbf{h}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{+}\mathbf{h}}_{\mathbf{2}}}}$;

${\displaystyle \frac{\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{a}}{\mathbf{b}\mathbf{-}\mathbf{a}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{h}}_{\mathbf{1}}}{{\mathbf{h}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{+}\mathbf{h}}_{\mathbf{2}}}}$;

звідси ${\displaystyle \frac{{\mathbf{h}}_{\mathbf{1}}}{{\mathbf{h}}_{\mathbf{2}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{a}}{\mathbf{b}\mathbf{-}\mathbf{x}}}$.

SMBCN = SAMND:

${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{x}}{\mathbf{2}}}$ · h1 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{b}}{\mathbf{2}}}$ · h2;

(a + x)(x – a) = (x + b)(b – x);

x2 – a2 = b2 – x2;

2x2 = a2 + b2;

x = ${\displaystyle \sqrt{\frac{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{+}\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}}}$.

Відповідь: ${\displaystyle \sqrt{\frac{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{+}\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}}}$.