1250 Вправа 1250Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 22 · стор. 246

1250. У прямокутній трапеції більша бічна сторона дорівнює 16 см. Менша діагональ є бісектрисою тупого кута, який дорівнює 120°. Знайдіть площу трапеції.

Дано: ABCD – прямокутна трапеція; CD = 16 см; CA – бісектриса ∠C; ∠C = 120°.

Знайти: SABCD.

Розв'язання

Проведемо висоту CH.

∠CDA = 180° – ∠C = 180° – 120° = 60° (внутрішні односторонні).

У △CHD (∠H = 90°):

cos D = ${\displaystyle \frac{\mathbf{HD}}{\mathbf{CD}}}$;

HD = CD · cos D = 16 · cos 60° = 16 · ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ = 8 (см);

sin D = ${\displaystyle \frac{\mathbf{CH}}{\mathbf{CD}}}$;

CH = CD · sin D = 16 · sin 60° = 16 · ${\displaystyle \frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}}$ = 8${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ (см).

У △ABC (∠B = 90°):

∠BCA = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠C = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · 120° = 60°;

AB = CH = 8${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ см;

tg ∠BCA = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{BC}}}$;

BC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{tg}\angle \mathbf{BCA}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{8}\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{tg}{\mathbf{60}}^{\mathbf{\circ }}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{8}\sqrt{\mathbf{3}}}{\sqrt{\mathbf{3}}}}$ = 8 (см).

AD = AH + HD = BC + HD = 8 + 8 = 16 (см).

SABCD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BC}\mathbf{+}\mathbf{AD}}{\mathbf{2}}}$ · CH;

SABCD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{8}\mathbf{+}\mathbf{16}}{\mathbf{2}}}$ · 8${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ = 12 · 8${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ = 96${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ (см²).

Відповідь: 96${\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}$ см².